Домен и хостинг это две отдельные услуги. Вы можете купить домен у одного регистратора или хостера, и платить каждый год за домен там где купили, сайт держать на другом хостинге и платить за хостинг там, а почту вообще в третьем месте, например на Майл ру для бизнеса
Привязать домен к сайту обычно можно двумя способами - через записи A AAAA CNAME у регистратора (обычно хостеры это не любят, но такая возможность у всех есть) или делегировав управление DNS к хостингу изменив NS записи.
Если делаете второй вариант, слетают все остальные записи и например почту придется настраивать заново.
Часто у регистратора домена услу.га DNS -хостинга платная, например у nic.ru или ее нет вообще, как у atex.ru. Тогда можно сразу при покупке указывать либо ns-записи хостинга, либо можно делегировать на тот же Майл ру для бизнеса, там тоже есть бесплатные DNS сервера
Многие хостеры сейчас предлагают сразу же перенести сам домен к ним. Конечно, где то удобно чтобы и хостинг и домен были вместе. Если Вы на это решились, чаще всего придется оплатить стоимость годового обслуживания домена хостеру за перенос, и далее Вы будете и за домен и за хостинг платить только хостеру. Чтобы такого не было, многие регистраторы придумывают различные способы удержания клиентов, например чтобы получить код переноса домена нужно написать заверенное нотариусом письмо или приехать к ним в офис и подписать в их присутствии.
При переносе обязательно сравните цену продления домена, сейчас многие продают домен (за первый год) по одной цене, а продление окажется в десять раз дороже
Например в зоне ru на сегодня вот такие цифры
https://7fk.ru/ceni-na-domeni-v-zone-ru/ 
Простой
Средний
