Как найти вектор сигнала в плоскости?

Question

[blinder]

Имеются 3 точки A,B,C которые между собой образуют правильный треугольник со стороной в 8 см.
Вне этого треугольника находится еще одна точка (D) которая испускает сигнал. Сигнал распространяется во все стороны, равноудаленно от своего источника (точки D) и движется со скоростью 10 см в секунду. В определеную единицу времени T(a) = 17:28:10:328 сигнал доходит до точки А и та фиксирует время прибытия, еще через какое-то время сигнал доходит до точки B, которая также сохраняет время обнаружения в переменную T(b) = 17:28:12:628 и наконец сигнал доходит до точки С, время - T(c) = 17:28:17:428. Вопрос: можно ли на основании этих данных определить вектор сигнала относительно медианы треугольника? Если нет, можно ли это сделать с какой-то угловой погрешностью? Сектор 30 градусов, 45, 60 и т.д (понятно чем меньше тем лучше).

17:28:12:628 - часы:минуты:секунды:милисекунды.

Comments

[Сергей Сергей]

Время прохождения сигнала между точками А и В 2,3 с, пройденное расстояние для сигнала 23 см, треугольник 8 см — я чувствую подвох.

Но в целом, это задача триангуляции сигнала. Проблема в том, что непонятно, время засекается от начала распространения сигнала или просто суточное, потому что от этого зависит, будут ли известны длины отрезков на лучах, чтобы найти точку D. Приблизительно можно считать через прямоугольный треугольник, где гипотенузой принять медиану от А, а катетом — отрезок луча через середину ВС, при этом допустить, что точка D достаточно удалена от треугольника АВС, тут погрешность будет зависеть как раз от удалённости D.

Answer 1

[Wataru]

Похожую задачу решает GPS (если забить на всякие физические эффекты).

У вас будет 3 переменные - координаты источника сигнала (x, y) и время отправки сигнала (t).
Вам даны координаты трех точек (x_i, y_i, i=0..2), три времени получения сигнала (t_1, t_2, t_3) и скорость сигнала (v).

Время переведите в секунды относительно минимального из трех времен (вам ведь только относительные задержки нужны), чтобы числа не были слишком большими. Т.е. минимальное из трех времен будет 0, а два остальных - разницей с этим временем.

Уравнения, что сигнал проходит заданное расстояние за заданное время с известной скоростью:

(x_i-x)^2+(y_i-y)^2 = ((t-t_i)*v)^2

Можно время считать не в секундах, а в 1/v, тогда уравнения чуть упрощаются (коэффициент перед t^2 везде 1, а не v^2).

Можно решать аналитически. Вычтите первое уравнение из двух остальных. У вас получится 2 линейных уравнения с тремя неизвестными x, y, t. Считайте, что t - это константа и решите уравнения относительно x и y (Через определители, или метод Краммера). У вас будет какая-то линейная зависимость x и у от t (большие формулы, да). Можно упростить вычисления, если cначала записать уравнения в виде A1x+B1y=C1+D1t.

Потом подставьте эти зависимости в первое уравнение и у вас будет квадратичное уравнение на t.

Решите его. Подставьте t в известные уравнения для x и y - и вот ваш центр (заодно вы знаете, когда был отравлен сигнал).

Из двух значений t, одно будет в будущем (положительное), его надо будет отбросить.

Comments

[blinder]

У вас получится 2 линейных уравнения с тремя неизвестными x, y, t. Считайте, что t - это константа и решите уравнения относительно x и y (Через определители, или метод Краммера).

Не совсем понятен этот момент, например есть такая система
-10х*5y=5t+1
-5x*15y=10t-2.5

Как действовать в таком случае?

[Wataru]

blinder, Откуда у вас там x помножить на y? Во всех уравнениях x и y идут отдельным слагаемыми.

Но, если вы что-то там другое решаете, то тут вы можете однозначно найти t (выразить x*y из первого уравнения через t, подставить во второе и решить линейное уравнение на t). Далее, отсюда вы знаете x*y. Можно выразить x через у. Потом подставить все в третье уравнение.

Если же у вас опечатка и вы имели ввиду
-10х+5y=5t+1
-5x+15y=10t-2.5

То методом Крамера x=(15*(5t+1)-5*(10t-2.5))/(-150+25). Упрощаете и получите x=A*t+B. Аналогично для y.

Answer 2

[hint000]

можно ли это сделать с какой-то угловой погрешностью? Сектор 30 градусов, 45, 60 и т.д

Для сектора 60 градусов (из центра треугольника) даже не нужно засекать время, достаточно последовательности получения сигнала. Шесть секторов по 60 градусов, шесть последовательностей: (A,B,C), (A,C,B), (C,A,B), (C,B,A), (B,C,A), (B,A,C).
Для точного вычисления нужно составить систему уранений и решить. На первый взгляд решаемо (нужно потратить время).

Comments

[blinder]

Спасибо, не подскажете какого рода уравнения и в какую сторону копать?