Вы вручную засовываете токен в local storage?
Вопрос немного непонятный, но попробую парочку заметок накидать:
-В книгах по тестированию упоминается pairwise testing, в вашем результате можно сократить чеклист для каждого браузера (поясню, например нет необходимости тестить некоторые пункты одновременно в инкогнито и без)
Вместо изнурительного прогона всех тестов для всех браузеров можно из регресса выделить "основную" часть, которую прогонять полностью на всех и "дополнительную", которая имеет меньший приоритет/критичность, и эту секцию поделить между клиентами.
Описал сумбурно, попробую накидать пример:
Чеклист онлайн-банка: (в скобках наличие большого количества js и подстройки (adapt) под конкретные браузеры в http api)
Авторизация (adapt)
Главная (js, adapt)
Платеж (js)
Перевод
Налоги / справки (js, adapt)
Список операций (js)
Управление услугами
Управление безопасностью (adapt)
секции с adapt / js и критичные секции (которые также могут входить в смок чеклист) проверяем на всех шести клиентах (3 браузера в инкогнито и без)
секции только с одним js или adapt проверяем только на разных браузерах (то есть 3 прогона)
секции без js и adapt делим между неинкогнито вариантами трех браузеров (Перевод проверяем в хроме, управление услугами в firefox и т.д.)
таким образом мы существенно сократим количество проверок без особо ущерба покрытию
конечно это сугубо синтетический пример, в реальности надо подстраиваться под кучу других условий
p.s. надеюсь без поллитра кто - нибудь почерпнет полезное из моей писанины
p.p.s а лучше вкорячить автотесты на апи и автоматизировать проверку верстки / переходов автотестами на ui, там хоть двадцать браузеров вкорячить можно без просадки по затратам)