Exim по умолчанию пытается отправить письмо сразу, как его получает и ваш скрипт ждёт завершения этого процесса. Соответственно, если у вас скрипт на PHP и вы не озаботились его распараллеливанием, то всё будет крайне печально. Но если добавить в конфиг exim параметр queue_only, то письмо будет попадать в очередь отправки и отсылаться потом.
А чтобы очередь обрабатывалась пободрее понадобится уменьшить время между отправлением очереди ( для debian задаётся переменной QUEUEINTERVAL в /etc/default/exim4 ) и, вероятно, указать количество обработчиков очереди (queue_run_max в конфиге exim, по умолчанию 5).