Нужно попросить пользователя авторизоваться через ваше приложение в YouTube и дать разрешение
youtube.readonly
на доступ к своим данным.
См. метод YouTube Data API
subscriptions:list. Обратите внимание на пример «check whether a subscription exists» – как раз ваша задача, и есть примеры кода, в т.ч. на PHP (прокрутите вправо).
Для
работы c PHP понадобится установить Google PHP SDK:
composer require google/apiclient:^2.0
, в
API консоли создать проект, создать OAuth ключ, скачать его JSON.