Каким образом я могу тестировать сайт в браузере на локальном сервере MAMP с использованием файла с расширением php, а не html?
Поясню.
При тесте файла с расширением html-ошибок нет, все отображается. Но если интегрируешь php в код и меняешь расширение, то сразу ошибки выдает...
Что делать, как запускать сайт на локальном сервере?
Смотря что вы подразумеваете под "Тестированием сайта". Вы можете в IDE создать тесты и запускать их в той же самой IDE и смотреть результаты в браузере. Если у вас включен вывод ошибок PHP, и там есть ошибки, то это вам их исправлять.
У вас же MAMP т.е это MACOS? это и есть локальный сервер, прочитайте мануалы по его настройке.