Компосер работает просто: он агрегатирует все файлы со всеми классами и подключает их в 1 файл, который вы и должны подключить себе. Далее, все классы, методы, переменные и т.д. из установленных библиотек становятся доступными вам в вашем скрипте после того, как вы подключите
autoload.php.
autload.php - это и есть тот файл, куда компосер подключает остальные скрипты. Он лежит в папке vendor рядом с установленным компосером.
Поэтому пишите:
require_one __DIR__.'/vendor/autoload.php';
$ig = new \InstagramAPI\Instagram(); //переменной можно пользоваться
Это если у вас скрипт в той же папке, в которой и компосер.