Как подсказал товарищ
pinhvin нужно использовать cURL. В гугле полно примеров запросов curl.
Вот таким способом я смог получить авторизационный токен.
$ch = curl_init('https://api.yandex.mightycall.ru/api/v3/auth/token');
$body = 'grant_type=client_credentials&
client_id=***&
client_secret=***';
curl_setopt($ch,CURLOPT_HTTPHEADER,array('Content-Type: application/x-www-form-urlencoded',
'x-api-key: ***',
));
curl_setopt( $ch, CURLOPT_POSTFIELDS, $body );
curl_setopt($ch, CURLOPT_RETURNTRANSFER, 1);
$result = curl_exec($ch);
curl_close($ch);
echo $result;