Вот здесь описаны механизмы авторизации Trello:
https://developers.trello.com/page/authorization
Если вы пишете приложение, они рекомендуют создавать для приложения отдельного пользователя, потом получать у пользователя токен и с помощью него ваше приложение уже будет авторизовываться и работать с API. Т.е. вам не нужно ни куда отправлять логин и пароль. Вы получаете токен пользователя через UI интерфейс и далее используете его в приложении.