Если прописать себе ip адрес вручную (см. скриншот. Поле ip adress), то независимо от этого при подключении к интернету твой ip адрес все равно будет другим?
Нет. Он будет именно таким, как прописан. Если он прописан правильно. Какой адрес прописывать - обычно согласовывается с провайдером, если конечно Вы не PI.
То есть сайты будут видеть другой ip адрес, который выдал тебе провайдер?
Сайты будут видеть ровно тот адрес, с которого выходите в Интернет. Если он прописан правильно. Адрес на скрине - несуществующий. В соответствии с RFC1918 такие адреса для выхода в Интернет использовать бессмысленно.
При каждом подключении к интернету провайдер каждый раз присваивает тебе разные ip адреса?
Зависит от условий договора с провайдером. Может быть да. Может быть нет (у меня, например, нет :) )
На что может повлиять вручную прописываемый ip адрес (тот который на скриншоте) по отношению к подключению к интернету через провайдера?
Тот, который на скрине - ни на что. С таким адресом просто работать не будет :) Вообще - на работоспособность. Работать будет только с тем адресом, который дал провайдер, потому что пакеты от другого адреса на данном порту провайдера будут просто игнорироваться.