Расчёт углов поворота между двумя системами координат

Question

[Максим]

Есть ортогональная трёхмерная система координат (OXYZ). Есть другая ортогональная система координат (OX`Y`Z`), повёрнутая относительно первой на неизвестные углы. Центры систем координат совпадают. В системе координат (OXYZ) мы знаем координаты вектора OX` и вектора OZ`. Необходимо найти матрицу поворота для перехода из системы координат (OXYZ) в (OX`Y`Z`). Помогайте, а то весь мозг себе сломал. Или подскажите в какую сторону копать.

Comments

[Xbill]

Столкнулся с очень похожей проблемой. Вопрос автору. Так какое же решение подошло наилучшим образом?

Answer 1

[xanep]

ОМГ, в шоке от ответов про кватернионы ))

Если координаты в XYZ
OX' = (x1, y1, z1)
OY' = (x2, y2, z2)
OZ' = (x3, y3, z3)
То матрица преобразования из XYZ в X`Y`Z`
x1, x2, x3
y1, y2, y3
z1, z2, z3

Собственно практически по определению

Comments

[Максим]

Всё же получится матрица преобразования из X`Y`Z` в XYZ. Но по условию задачи известны координаты только осей OX' и OZ'. Координаты OY' не известны.

[Максим]

Но всё равно спаибо, можно попробовать посчитать координаты третей оси, так как решение с поворотами до совмещение осей дало громадную результирующую матрицу поворота.

[xanep]

координаты 3-й оси — это векторное произведение первых двух

Answer 2

[Cyapa]

Извините, если я сейчас ошибаюсь, но у вас будет две матрицы поворота. Вокруг оси X и вокруг оси Y. Вот они:

Вокруг X:


Вокруг Y:


Ну, а найти углы поворотов это элементарно:


Ведь у вас есть координаты OX` и OY` в исходной системе.

Comments

[Максим]

по идее если по матрице перехода пересчитать допустим ось OX то она должна совпасть с осью OX'. как это сделать без поворота вокруг оси OZ я не представляю. В моём понимании должно быть как минимум 3 поворота.

[Cyapa]

Поворот по двум осям задает угол поворота по третей единственным образом.

[Максим]

Хорошо, вот только не понял углы поворота фи и пси между чем и чем? Лично мне их найти не так элементарно как вам и я не понимаю что за формулу вы дали.

[Cyapa]

Угол фи, это угол между векторами OX и OX`, угол пси это угол между OY и OY`. Что бы их найти нужно подставить соответствующие векторы в формулу и вычислить арккосинус от того, что получится.

[Максим]

теперь понятно. Вот только всё же в первом сообщении вы пишете о повороте вокруг оси X и Y. А если угол фи это угол между векторами OX и OX` то вращать нам надо всё же вокруг OY' для совмещения OX и OX`. Обозначим эту новую повёрнутую систему как OX«Y»Z". для совмещения осей OY и OY" расчитываем угол между ними и поворачиваем вокруг оси OX", она же OX'. Так?

Answer 3

[alexeip]

Да, некий Уильям Гамильтон тоже ломал себе мозг, вместе с коллегами. Правда, не о том. Но у них получилось такое, что и нам тоже пригодится: ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D1%8B_%D0%B8_%D0%B2%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0

Comments

[Максим]

Что такое кватернион я знаю. Проблема здесь не выполнить поворот, а определить оси вращения и углы на которые нужно выполнять поворот.

[alexeip]

Поворачиваем систему координат сперва так, чтобы совпал OX' с OX, при этом OY' переходит в, скажем, OY''. Потом повернутую систему поворачиваем второй раз (вокруг OX') чтобы OY'' совпал с OY. (При первом повороте ось вращения получим как векторное произведение OX' и OX, а угол поворота — в обоих случаях — через скалярное, формулу уже привели выше.) Оба поворота выразим кватернионами, и потом из их композиции и получим и ось, и угол.

[Максим]

так как мы рассчитываем переход из системы OXYZ к OX'Y'Z' то соответственно предлагаю доворачивать OXYZ до OX'Y'Z' а не наоборот. Итак вначале по формуле рассчитываем угол между OX и OX' и поворочиваетм по оси OY'. при этом у нас совпадут OX' и OX Повёрнутую систему обзовём OX«Y»Z". Теперь чтобы совместить OY' и OY" находим между ними угол и поворачиваем вдоль оси OX", он же OX'. Так?

[alexeip]

Да, верно — второй поворот делать вокруг того вектора, который уже совмещен. Но чтобы совместить его первым поворотом, векторное произведение посчитать, в общем случае, всё же нужно. И использовать это векторное произведение как ось вращения для первого поворота. Разве что, по условиям задачи, OY' — это нормаль к плоскости XOX'?
P.S.: Случайно изменил обозначения по сравнению с теми, что были в вопросе. В вопросе — векторы OX' и OZ', а у меня — OX' и OY'.

Answer 4

[OldFisher]

Насколько я могу припомнить, если мы возьмём координаты ортов новой системы, помещённых в старую, то эти координаты и будут строками искомой матрицы.

Comments

[Максим]

Точно строками? Предположим что новая система координат отличается от старой только поворотом вокруг оси y на 45 градусов. тогда если верить вашим словам матрица поворота примет вид:
0.7, 0, 0.7
0, 0, 0
-0.7, 0, 0.7

умножим на эту матрицу вектор OX
1
0
0

и получим вектор с координатами 0.7, 0, -0.7. А должны были 0.7, 0, 0.7.

[OldFisher]

Значит, столбцами — зависит от формы записи. Мне приходилось иметь дело с обоими вариантами, так что сразу не сориентировался, что требуется для классического варианта. Кстати, второй вектор будет всё же (0, 1, 0).

Answer 5

[VoidVolker]

Вот тут подробно и доступным языком описано использование углов Эйлера, матриц и кватернионов: www.rossprogrammproduct.com/translations/Matrix%20and%20Quaternion%20FAQ.htm

Answer 6

[Illivion]

Загляните сюда, может это поможет разобраться.

Stewart Platform Math