Логика примерно такая:
1. Держать в файле вывод последнего df
2. Запускать скрипт, который содержит команду df каждые, например, 5 минут (по крону - crontab -e)
3. Если есть различия вывода с файлом - вывести различия.
Различия найти можно через команду diff, если писать все в файлы