Как вычислить корень n-ой степени?

Question

[uliana00]

Подскажите как вычислить корень n-ой степени с точностью EPS с использованием итерационной формулы Ньютона и количество итераций, за которое достигается эта точность.

Answer 1

[Mercury13]

Итак, надо решить такую задачу.
x^b = a, a > 0, или x^b — a = 0

Метод Ньютона говорит:
x_n+1 = x_n − f(x) / f′(x)
x_n+1 = x_n − (x_n^b — a) / (b·x_n^b−1) = (x_n − a/(x_n^b−1))/b
Поскольку функция возрастает и выпукла вниз, x₁ лучше брать завышенный. Идеал — хаки с дробными числами (например, заполучить порядок и взять начальным приближением 2^[ord/b] для отрицательного порядка и 2^{[ord/b] + 1} для неотрицательного.

[x] — усечение дробного числа, при целом b [ord/b] = ord div b. Чтобы заполучить порядок, похимичить с ним и снова собрать в машинное дробное, можно воспользоваться функциями Delphi Frexp и Ldexp, они очень быстры.

Заканчивать когда |x_n+1 − x_n| меньше e. Поскольку у метода сходимость квадратичная, почти гарантированно получим нужную нам точность.

Поскольку для проверки точности нам нужны два приближения, n и n+1, их и храним.

И последнее. Поверь мне, прекрасная леди, никто не будет решать тебе учебную задачу до конца.

Answer 2

[uliana00]