В первую очередь вам нужно пометить класс атрибутом
System.Serializable, после этого юнити будет знать, что этот класс можно сериализовать и будет показывать поля с этим типом в инспекторе. Правда нужно понимать, что юнити умеет сериализовывать далеко не все типы, поэтому DateTime вам придётся переводить в строковое представление. Чтобы вписаться в общий процесс сериализации, вам нужно реализовать интерфейс
ISerializationCallbackReceiver и написать методы, в которых вы будете переводить DateTime в строку и обратно. После этого можете использовать
JsonUtility, для сериализации в json и записи в файл или куда-то ещё.