Как происходит отправка писем через smtp с указанием адреса сайта?
1. К примеру email@example.com, часть с доменным именем, где он определяется и где должен быть развернут smtp сервер?
2. Можно ли использовать сторонний smtp сервер, например сервер гугл?
В smtp нет никаких сайтов. Так что если что и отправляется, то это в теме или в теле сообщения. Но есть подозрение что вы путаете сайт, домен, сервер, и ставите между всеми тремя знак равенства.