Как обстоят сейчас дела с вебом?
Спасибо, нормально
1) Пользуются популярностью готовые фреймворки или многие пилят свои решения?
90% адекватных людей пользуются готовыми фреймворками, кого что-то не устраивает - берет наиболее подходящий и делает форк (редкий случай), благо все они в основном опенсорс и какая-то фри лицензия. Вариант "пилят свой" обычно именно отдельный проект а ля вуе, фреймворк ради фреймворка, а не ради проекта на нем.
2)На сколько глубоко нужно знать сейчас JS ? Базис- это понятное дело, что нужен.
На сколько осилите, это единственный(на текущий момент) язык который умеет работать с дом моделью. Соответственно без него делать во фронтенде нечего.
3)С какого фреймворка лучше начинать изучение этой темы при создании проекта на ASP.NET MVC?
На чем бэк работает вообще не важно. Важно чтобы данные для фронтэнда правильно умел предоставить, на чем оно написано вас как фронтендера не должно интересовать, хоть на брейнфаке, надо знать только апи. Какой фреймворк изучать вам - это ваш выбор, на рынке их около 5-6 популярных, я не изучал в силу того что в большинстве своем работаю с бэк. Гугл в помощь.
И не помешал бы сайт, по которому можно было бы обучиться.
Все сайты проектов обычно имеют раздел туториалов и документации, если у вас есть базовые знания в программировании, проблем в освоении любого из них у вас не будет.