Если сделать копию данного сайта, разместить на хостинге и привязать тот-же домен который привязан к сайту сейчас
Это называется не "перенос домена", а "смена хостинга".
А если меняется и внутренности (файлы, движок и тп) - то "смена движка".
В первом случае ничего не будет если не накосячить.
Во втором перенеси 1-в-1 практически не реально. А если под "конструктор" имеется ввиду типа wix, то всё намного хуже.