git pull origin from:to

1. from - имя ветки, которую подтягиваем
   
2. to - имя ветки, В которую заливаем
   

Вам необходимо поправить шаблон компонента меню.
Если иконки нужно вывести не все одинаковые для каждого пункта, а индивидуальные, то следует использовать параметры меню в расширенном режиме.
Пример как это делается (правда на шаблоне на базе 2 bootstrap, но это не принципиально) показано здесь http://xn--80ahcjeib4ac4d.xn--p1ai/information/int...

знаю, что Битрикс с точки зрения развития, путь вниз

Смешно.
Битрикс - это путь.
Любой путь лучше, чем топтание на месте.
С битриксом на кусок хлеба с маслом в ближайшие годы заработаете гарантированно.
Ну и на что-то другое перейти всегда можно.

Если других хороших вариантов прямо сейчас не видно, я бы на вашем месте согласился. Любой даже самый ненавистный продукт стоит хотя бы немного потыкать (я так в своё время с 1С пободался).

Удивительно, но некоторые "обычные хостинги" (например, beget, не рекламирую) умеют использовать git. Как правило делается это по запросу.
Уточните у техподдержки хостера.