сразу быстро не ответишь.. есть несколько вариантов и вам рекомендую начать с самого простого:
посмотреть какие запросы отправляются при нажатии на кнопку и этот запрос воссоздать через
HttpWebRequest и
HttpWebResponse:
string urlAddress = "http://google.com";
HttpWebRequest request = (HttpWebRequest)WebRequest.Create(urlAddress);
HttpWebResponse response = (HttpWebResponse)request.GetResponse();
if (response.StatusCode == HttpStatusCode.OK)
{
Stream receiveStream = response.GetResponseStream();
StreamReader readStream = null;
if (response.CharacterSet == null)
{
readStream = new StreamReader(receiveStream);
}
else
{
readStream = new StreamReader(receiveStream, Encoding.GetEncoding(response.CharacterSet));
}
string data = readStream.ReadToEnd();
response.Close();
readStream.Close();
}
или так:
using System.Net;
using (WebClient client = new WebClient())
{
client .QueryString.Add("ключ", "значение"); //для get
string htmlCode = client.DownloadString("http://somesite.com/index.html");
}
//post запрос:
string url = "http://site.com/";
using (var webClient = new WebClient())
{
// Создаём коллекцию параметров
var pars = new NameValueCollection();
// Добавляем необходимые параметры в виде пар ключ, значение
pars.Add("ключ", "значение");
// Посылаем параметры на сервер
// Может быть ответ в виде массива байт
var response = webClient.UploadValues(url, pars);
}
если не удастся так сделать, то выход через COM библиотеку
MSHTML (для этого добавьте её "references" -> "COM" ->
«Microsoft HTML object library»
далее
using mshtml;тут пример использования
где полученный html вы передаёте в
HTMLDocument doc = new HTMLDocument();
IHTMLDocument2 doc2 = (IHTMLDocument2)doc;
doc2.clear();
doc2.write(//тут html-код (string));
IHTMLDocument3 doc3 = (IHTMLDocument3)doc2;
IHTMLElement btns = doc3.getElementById("YouId or ne YouId");
далее находите кнопку:
IHTMLElementCollection buttons = btns.all;
foreach (IHTMLElement element in buttons )
{
element.click();
}
далее опять парсим страницу.
(п.с.с. примерно так)
можно через webbrowser выполнить javascript
тык и
тык 
Средний
