Если речь идет об открытой разработке - то вполне github.
Если речь идет о закрытой разработке с постоянной командой, то лучше что-то типа gitlab, он позволяет плотнее организовать работу над проектом.
Github и пр. - всего лишь хранилища.
Как подключить к вашему проекту - решаете вы в каждом проекте отдельно.
У нас просто при очередном коммите срабатывает хук в Gitlab, который дергает утилиту, которая засасывает файлы в Docker-образ. Этот образ запускается на тестовом сервере. Если проходят тесты успешно то образ запускается на боевом сервере, запросы роутятся на новый сервер, старый образ на боевом сервере отключается.
Как сделать - также читать тут:
https://flynn.io/docs/basics
или тут:
https://deis.com/workflow/how-it-works/
Git, Github, Gitlab, Bitbucket и т.п здесь не более чем хранилище исходных файлов.
Возможно, умное хранилище, но не более того.
Само по себе оно ваш сайт не запустит.
Исключение - статические сайты или сайты где вся логика во фронтенде.
См. github pages и т.п.