1. Можешь ссылки открывать в новых вкладках. Сделай несколько попыток открыть ссылку в новой вкладке с проверкой, нет ли там ошибки. Примерно так:
main_window = driver.current_window_handle
#open the link in a new tab
clickable_element.send_keys(Keys.CONTROL + Keys.RETURN)
#switch to that tab
driver.find_element_by_tag_name('body').send_keys(Keys.CONTROL + Keys.TAB)
driver.switch_to_window(main_window)
#close the tab
driver.find_element_by_tag_name('body').send_keys(Keys.CONTROL + 'w')
driver.switch_to_window(main_window)
2. Можешь открыть второе окно браузера, я имею ввиду new instance, и работать с ними параллельно. Во втором окне открывать все ссылки.