Может ли быть число в степени матрица?

Question

[splunk]

Может ли быть матрица в роли степени?

Answer 1

[RedHairOnMyHead]

За исключением этого никогда не сталкивался с возведением в степень матрицы. В Гамильтоновых системах линейных дифференциальных уравнений можно логарифмировать (по крайне-мере натуральным логарифмом) матрицу, а значит, существует действие возведения в степень матрицы. Собственно это тоже самое что e^A.

Comments

[Денис Загаевский]

Жесть. Не слышал про это.

[RedHairOnMyHead]

Denis Zagayevskiy: это своего рода изыскание, т.к. мы все же используем экспоненту, а экспонента - это функция. Так то для чисел операции возведения числа в степень матрицы на сколько я знаю нет.

[Денис Загаевский]

Ryuk ...: ну собственно, да. Почитал, трюк забавный получается. Воспользовались тем, что (e^x)' = e^x, а для произвольного числа(5) пришлось бы искать (5^A)', и вот это уже сделать нельзя, потому что таки возведение в степень матрицы не определено.

[RedHairOnMyHead]

Denis Zagayevskiy: век живи - век учись)

[MagnetonBora]

Ryuk ...: не совсем так. В статье, которую ты прислал показано как вычислить значение экспоненциальной функции от матричного значения. То есть по сути показано как выполнить операцию возведения в степень числа e. Ничего не мешает проделать ту же операцию для любого другого числа. Нужно только воспользоваться соотношением a^n = exp(n*ln(a)), а дальше вычисления идут как раз как в статье показано -- с помощью разложения в ряд Тейлора. Производная тоже может быть определена. Чуть позже отдельно напишу ответ о том как строится алгебра над полем квадратных матриц (или хотя бы покажу что лучше всего почитать).

[RedHairOnMyHead]

MagnetonBora: желательно литературу/статьи на эту тему. Спасибо)

[RedHairOnMyHead]

MagnetonBora: спасибо большое!)

[MagnetonBora]

Ryuk ...: Было много дел, поэтому отвечаю с задержкой. Давайте по порядку. Можно ли возвести число в матричную степень? Да, можно. Достаточно уметь возвести в степень экспоненту. Вспомним соотношение a^n = exp(n*ln(a)). Вот и все. Теперь вопрос как вычислить значение функции exp(X), если X -- матрица. Первая ссылку в гугле указывает нам на следующую статью на википедии. В этой статье говорится о том, что матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли. Если мы опустим заумные вещи из высшей алгебры, то в конечном счете получается, что для вычисления значения функции от матричного аргумента необходимо уметь раскладывать данную функцию в ряд Тейлора (Маклорена). Это как раз и описано в статье на вики. Более того, такой подход первым приходит на ум. Вспомним таблицы Брадеса. Были времена, когда компьютеры были слабые и позволить их себе мог не каждый. Тем не менее задачи решать было надо, поэтому умные дядьки брали разложения основных функций в ряды и трудолюбиво вычисляли их значения в соответствующих точках. В нашем же случае ситуация та же самая, с той лишь разницей, что функциональный ряд у нас не от скаляра, а от матричного аргумента. Вот, собственно, и все. Разумеется, функцией от матричного аргумента может быть не только экспонента, но и ряд других.
Другой вопрос -- где такая магия применяется и как ее интерпретировать. На самом деле много где: в различных задачах теории управления, в квантовой физике, теории систем, в различного рода дифференциальных уравнениях. Интерпретация же уже зависит от конкретного случая.
Кому интересно можете себе поставить MATLAB, SCILAB или Octave и попробовать создать там матрицу, передать ее в функцию и посмотреть что получится.
И на последок скажу что можно почитать. Вот на этом сайте рассматривается данный вопрос, еще можно почитать вот эту методичку (это спецкурс математического факультета), вот тут есть задачки, еще есть вот такая книга под редакцией Колмогорова, наконец, можете посмотреть старое обсуждение похожего вопроса вот тут.

P.S. Поправил немного ссылки, чтобы красивее выглядели.

Answer 2

[Web Developer Blog]

Нет, это невозможно

Comments

[MagnetonBora]

Это не правда. Ниже в отдельном комментарии напишу почему.

Answer 3

[Viva33]

Можно брать от матрицы любую дифференциируемую функцию.