В каком месте нужно инициализировать общедоступный объект?
В каком месте в коде ( например, в x.aspx.cs ) нужно инициализировать объект стороннего произвольного класса, чтобы он был доступен всем методам класса _default : System.Web.UI.Page ?
А почему его нельзя пересоздавать?
В принципе можно создать свойство страницы и инициировать объект на Page_Load.
P.S. подтягивайте MVC, там все проще.