Если скрипт запустить в фоне (./script &), то то, что буде написано в аргументе echo без перенаправлений, и пойдет в этот терминал, хоть процесс еще будет в фоне крутиться.
Если же нужно, чтобы скрипт в случае закрывания терминала все равно работал, можно перенаправить выходы в /dev/null, вход взять из /dev/zero и вызвать
disown, либо запустить скрипт при помощи nohup.