Как отконвертировать 3D-меш в наклонные треугольники?

Question

[ImagineTables]

На входе есть триангулированный 3D-меш, то есть набор треугольников, каждая вершина которого задана тремя координатами:

…
(x,y,z) — (x,y,z) — (x,y,z)
(x,y,z) — (x,y,z) — (x,y,z)
(x,y,z) — (x,y,z) — (x,y,z)
…

Это не важно, но для пущей наглядности обозначу: меш получен из прямоугольника, лежащего в горизонтальной плоскости, путём разбиения на квадратные ячейки, ячеек — на два треугольника, и поднятием/опусканием вершин этих треугольников по высоте. То есть, все треугольники смежные и не пересекаются.

На выходе нужно получить набор наклонённых треугольников, то есть таких, которые описаны тремя парами 2D-координат проекций вершин на горизонтальную плоскость, высотой треугольника, и двумя углами:

…
(x,y) — (x,y) — (x,y) — h — ∠α — ∠β
(x,y) — (x,y) — (x,y) — h — ∠α — ∠β
(x,y) — (x,y) — (x,y) — h — ∠α — ∠β
…

Изначально мы в горизонтальной плоскости строим проекцию треугольника, для этого используются три пары двухмерных координат. Затем мы по высоте поднимаем/опускаем треугольник целиком. Затем наклоняем треугольник при помощи двух углов.

∠α это угол поворота в горизонтальной плоскости от, допустим, севера. То есть, из начала координат строим отрезок OA на север, затем поворачиваем его по часовой на ∠α, получая отрезок OA`. Затем строим плоскость, перпендикулярную горизонтальной плоскости, и проходящую через отрезок OA`. В этой плоскости и вращаем треугольник на угол ∠β (pivot'ом может быть начало координат или центр, пусть будет начало координат).

Вот скриншот такого треугольника:



Очевидно, что (x,y) — (x,y) — (x,y) можно оставить без изменений. Как тройку оставшихся z — z — z конвертировать в h — ∠α — ∠β?

Answer 1

[Wataru]

Вам надо выписать формулы высот вершин в зависимости от высоты и поворотов.
Вообще, не очень понятно как именно ваши повороты происходят. Если вы вращаете треугольник, то координаты xy всех точек тоже меняются. Так что нельзя поднять треугольник и повернуть его, у него площать будет как у плоского, но у наклонного же площадь больше.

Видимо, этими углами и высотой задается плоскость в которой треугольник лежит.

Пусть уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0. Тут A,B,C - это нормаль к плоскости. Вы эту плоскость уже знаете - это три ваши точки же. Она от вертикального вектора вверх отличается за счет второго поворота на угол beta. Т.е. вы косинус этого угла можете найти как скалаярное произведение нормали к плоскости и вектора (0,0,1). А угол альфа - тут вам надо спроцировать нормаль плоскости на горизонтальную плоскость и найти угол между этим вектором и (1,0). Не уверен, в какую сторону вы там вращаете и от какого вектора, возможно вам надо будет прибавить 180 или 90 к альфа или бета.

Как считается высота - я не понимаю. Возможно это просто параметр D, Возможно, D*cos(beta).

Естественно, уравнение плоскости - нормированное, чтобы A^2+B^2+C^2 = 1. Можно A,B,C найти взяв векторное произведение двух сторон труегольника, а для D потом подставить координаты одной из трех точек.

Тут в формулах будут использоваться не только 3 координаты z, но вообще все точки. Несколько векторных,скалярных произведений и пара арккосинусов.

Comments

[ImagineTables]

Вообще, не очень понятно как именно ваши повороты происходят. Если вы вращаете треугольник, то координаты xy всех точек тоже меняются.

При изменении любого из двух углов проекции вершин на горизонтальную плоскость («координаты xy всех точек») не меняются. Меняются только высоты вершин.

Если второй угол (угол наклона треугольника к горизонтальной плоскости) нулевой, то изменение первого угла ни на что не влияет, и треугольник просто лежит в горизонтальной плоскости.

А если второй угол ненулевой, то… Возьмём цилиндр. Срежем ему верх под углом (это и будет второй угол, т.е. угол наклона к горизонтальной плоскости). Повращаем цилиндр вокруг вертикальной прямой V. Это будет первый угол. И в конце каждого вращения обрежем его треугольником. В результате проекции его боковых стенок на горизонтальную плоскость всегда будут одинаковые и будут давать один и тот же треугольник. А верхний торец будет по-разному наклонён.

Второй угол >= 0, но строго меньше 90° (при → 90° координата z одной из точек → ∞).

Та точка, где прямая V пересечёт горизонтальную плоскость будет точкой pivot'а, можно поместить её в начало координат, а можно в центр треугольника.

Щас попробую картинок сделать с разными углами.

UPD Перепутал первый и второй углы, исправлено.

[ImagineTables]

Вот второй угол равен 20°, а первый — 0°:



Вот второй угол по-прежнему равен 20°, а первый — 180°:



Координаты XY вершин не меняются.

[Wataru]

ImagineTables, Ну понятно, вычисления углов правильные у меня, но как высоту считать все равно не ясно. Где точка именно ось поворота проходит? Если ее далеко от треугольника провесити, то поворот его очень высоко поднимет. Т.е. для высоких точек его не надо вообще поднимать сначала. Если же ось поворота внутри треугольнка, то там лишь какие-то вершины поднимутся чуть чуть, какие-то опустятся. В итоге для высокого треугольника надо его перед поворотом высоко поднять.

[ImagineTables]

Wataru,

Где точка именно ось поворота проходит?

Номинально программа, которой я собираюсь скармливать треугольники (это gzDoom), допускает два варианта: 1) начало координат и 2) среднее арифметическое координат проекций вершин (центр треугольника). Я посмотрел сейчас на варианты использования, и понял, что для удобства мне нужен второй вариант, т.е. центр.

Меня смущает то, что углы (180°, 20°) дают те же 3D-координаты вершин, что и углы (0°, -20°). Получается, что есть два решения, и формула неоднозначная.

[ImagineTables]

И высота получается равна z-координате центра треугольника, т.е. h = (z1 + z2 + z3) / 3.

[ImagineTables]

Пойду читать про уравнение плоскости, спасибо за наводку.

[Wataru]

ImagineTables,

что углы (180°, 20°) дают те же 3D-координаты вершин, что и углы (0°, -20°).

Ну да, такая неоднозначность в этой схеме. А еще к углам можно 360 прибавлять без эффекта.
Логично предположить, например, что угол бета всегда выбирают положительным, а альфа от 0 до 359.(9). Тогда конфигурация записывается однозначно (кроме горизонтальных треугольников).