Это формула просто уже причесана и разложенна на множители. Это 12Y+8 (не X, кстати) идет в слагаемом (12Y+8)*(X+Y*Ai)
8 там - это 4*2. 4 дерева и 2 новые вершины. Подробнее ниже.
Как подсчитать все расстояния? Давайте отдельно посмотрим на те, которые внутри копии из 4 деревьев. Это даст нам слагаемое 4*Answer. Теперь подсчитаем те, которые идут между двумя разными деревьями. Их можно рзабить на 2 части - куски среди 5 новых ребер длины Ai и куски внутри деревьев. Вот эти куски внутри деревьев они все будут из угла, которым дерево крепится к остальным. Поэтому нам надо считать вот эту вот сумму расстояний от угла дерева (X).
Новые ребра посчитаем отдельно. В скольки путях каждое ребро будет присутствовать? Это надо перемножить количество вершин с одного конца ребра на количество вершин с другого конца. Ведь из каждой из первых есть путь во вторые, проходящий через данное ребро. Для 4-ех новых ребер размеры кусков будут Y и 3Y+2. Вот мы получили 4*Y*(3Y+2)*Ai. Вот тут если 4 внести внутрь мы получим вот это самое 12Y+8 из вопроса. Для одного ребра размеры будут 2Y+1 и 2Y+1. Вот мы получили слагаемое (2Y+1)^2*Ai.
Дальше надо посчитать, сколько раз каждый кусок в дереве из угла пойдет в ответ из путей между деревьями. Опять же, ровно столько раз, сколько вершин можно взять в качестве другого конца. Таких веришин 3*Y+2 - в любом из трех остальных деревьях или 2 новые вершины. Но эти куски в каждом из 4 деревьев, поэтому надо домножить на 4. Это дает нам слагаемое 4*X*(3Y+2). Тут тоже вылезает 12Y+8.
Вот и получается формула там.
Чтобы пересчитать Y, понятно что надо умножить на 4 и прибавить 2. 4 дерева 2 новые вершины.
Вот с X по сложнее. Во-первых. там могут быть пути внутри одного дерева. Получаем слагаемое X. Во-вторых, надо посчитать, сколько раз каждое из новых ребер войдет в ответ. Ребро у дерева с углом с одной стороны имеет ровно одну вершину конец - угол. С другой может быть в любом дереве или в одной из 2 новых вершин. Поэтому получаем слагаемое (3Y+2)*Ai Ребро между новыми вершинами с одной стороны может кончатся в любом из 2 деревьев или в новой вершине. Получаем (2Y+1)*Ai. Оставшиеся 3 ребра ведут только в одно дерево и дают 3*Y*Ai.
Куски путей внутри других деревьев однозначно описываются одной вершиной концом и дают как раз все возможные пути из корня, т.е. получаем еще 3X.
Куски путей внутри корневого дерева - это всегда диаметр дерева Z который идет рвоно столько раз, сколько там других вершин в дереве (3Y+2). Получаем Z*(3Y+2).
Если все сложить и причесать, получим ответ в статье. Возможно там чуть другая логика вывода была, но суть решения такая же. Аккуратно считаем все пути. Чтобы это было проще все пути можно разбить на группы: внутри дерева, между двумя разными, и еще и на части: часть в дереве и часть в новой серединке. И главный инструмент: ребро встречается в сумме путей ровно столько раз, сколько путей через него проходит, а это произведение размеров подграфов с двух концов ребра.
