Почему можно складывать точки на элиптических кривых?
Пытаюсь изучить тему криптографии на элиптических кривых. И не могу понять как так получилось, что можно складывать точки на элиптических кривых. Или почему результат сложения двух точек, это третья точка пересечения с кривой?
Для меня понятно что два яблока плюс три яблока будет 5яблок. Но не могу понять как складываются точки на кривых? Какие темы почитать или может есть уже понятное объяснения вывода формул сложения точек?
Пробовал гуглить, но на других типах кривых точки не складываются, тему сложения веткоров тоже так понял не приятнуть чтобы понятнее стало.
Точки складывать хочу конректно для кривой Ed25519
Просто математики так определили операцию "+" для точек на эллиптической кривой. Со сложением чисел или, например, векторов у этой операции общее только название. Никакого вывода формулы нет, это определение.
наверное большая часть матана строится на создании какой то математики над какими то сущностями, что бы там было что то похожее на привычные операции, вся возня вокруг что бы они были с теми же или похожими свойствами с оригинальными операциями, ведь тогда к ним можно было бы применять лайфхаки из обычной математики (или соседней)... отличный пример матрицы, их можно складывать, умножать... целый пласт всего этим открыли
rPman, вроде даже есть целые разделы математики, которые изучают как раз такие системы, которые хоть и разные, но в рамках которых есть схожие операции
Теория групп. Группа — это множество, для элементов которого определена операция - аналог сложения, и нейтральный элемент - аналог ноля. Если добавить ещё операцию умножения, получится кольцо. А если ещё и деления — поле.
rav_pr, отвечая на ваш вопрос формально, сложение должно обладать определённым набором свойств (ассоциативность, наличие нейтрального и обратного элемента); операцию определили так, чтобы она этими свойствами обладала. Читать первую главу любого учебника по теории групп.
Отвечая по сути — это, пожалуй, самый сложный вопрос при изучении математики: "Как до такого можно было додуматься?". Не уверен, что существует книга, обучающая нужному складу мышления.
rav_pr, Я не уверен, но кажется к такому определению сложения точек на эллептической кривой пришли из диафантовых уравнений. Вот есть у вас уравнение и пара его решений. Вам хочется получить больше решений. И вот складывая вот так вы получаете какре-то другое решение. Если просто пересекать с прямой, то потом из этих 3 точек вы, как ни складывайте их, ничего нового не получите. А если результат сложения еще и отразить, то потом можно его с предыдущими точками складывать и получать что-то новое.
Потом выяснили, что на некоторых кривых можно просто одно и то же решение складывать само с собой таким образом и получить вообще все решения уравнения и оно закрепилось, ибо теперь кривая оказалась циклической группой - весьма полезным в математике объектом.
Так-то, сложение могли бы определить как угодно, надо только что бы результат тоже на кривой лежал. Но исторически вот этот способ оказался интересен его и закрепили.
Как написали ранее - определили операцию "сложения" и доказали, что она удовлетворяет ряду аксиом абелевой группы: есть нейтральный элемент, есть обратный, есть коммутативность и есть ассоциативность. Ассоциативность оказалась самым сложным свойством - для ее доказательства потребовалось использовать https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE...
Простой
