ЕМНИП sqldrivers бинари поставляются в платном Qt, в opensource надо собирать из исходников.
Саму БД на хост не надо, только обеспечить возможность подключения из вашей проги с хоста в контейнер с БД
Для проверки жива ли база можно на хост поставить какой-нибудь клиент БД, например DBeaver
P.S. могут понадобиться доп компоненты - например Oracle driver требует установленный на машине oracle client, с PostgreSql из Qt опыта не было