Мне кажется, Вы не очень правильно понимаете работу с гитом.
Есть рабочая копия. Есть репозиторий ( по сути, такая же рабочая копия плюс обслуживающее её ПО).
Традиционно работа строится так:
- у Вас есть локальная рабочая копия, склонированная из какого-то репозитория,
- на веб-сервере есть ещё одна рабочая копия, склонированная из того же репозитория,
- Вы локально делаете правки, пушите их в репозиторий,
- Заходите на веб-сервер по ssh и там делаете git pull. Ради одной-двух команд графическая оболочка не нужна.
Вы, конечно, можете смонтировать удалённую папку как локальную ( в Linux это делается через FUSE, вроде бы), и натравить Sourcetree на точку монтирования. Но лично я такое не одобряю