Никак, IdHttp и WebBrowser не знают ничего друг о друге.
Можно попробовать взять Cookies оттуда и использовать их для запроса в IdHttp (на WebBrowser это никак не повлияет).
Либо в WebBrowser нажимать (программно, с помощью его методов и/или выполнения JavaScript) нужные кнопки на сайте и т.п., которые выполнят нужные действия. Либо с помощью AJAX сделать запрос в нем самом.
Либо вообще не использовать WebBrowser изначально, а разобраться что делает этот JS код и делать тоже самое.
while WebBrowser1.ReadyState<READYSTATE_COMPLETE do
begin
while WebBrowser1.Busy do Application.ProcessMessages;
end;
Зачем так сурово блокировать UI поток? Там же есть событие завершения загрузки.