Один из вариантов - создать Browser Extension, которое будет смотреть Console и писать лог (например) в базу данных. От пользователя потребуется только серфинг по сайту.
Вариант полегче - найти подходящий
сервис генерации "карты сайта", который также указывает статус выполнения запросов при переходе по ссылкам.
Вариант посложнее - эмулятор браузера плюс автоматизация. Браузер будет самостоятельно ходить по заданному сайту и складывать все битые ссылки в БД.