Уже некоторое время стараюсь уделять время и изучать математику самостоятельно, но до сих пор мои познания в математике являются достаточно скудными и, что самое печальное, уровень моего понимания математики остаётся по-прежнему довольно низким, хоть я и могу оперировать формулами и идеями из некоторых разделов математики для постановки и решения задач в рамках своей области (работаю и развиваюсь в сфере Data Science).
Я читал различные статьи, в которых прописывались подходы к изучению математики самостоятельно. Изучив разное, у меня возник вопрос, который меня довольно долго уже беспокоит и мешает выстроить для себя программу обучения:
«До какого уровня нужно погружаться, чтоб иметь понимание математики?»
Поясню на примере: Изучая понятие «абсолютная величина числа» столкнулся с двумя подходами: на уровне практики это рассматривают как «положительное число», «расстояние от начала координат до точки, соответствующей числу»; на формальном уровне как: «абсолютная величина (модуль) числа х – само число х, если x ≥ 0, число -х, если x < 0», даётся несколько иное определение (по крайней мере сходу мне было не очень понятно) рассматриваются свойства, ряд теорем, выводы, которые потом применяются при рассмотрении других тем (взято из учебника «Высшая математика» В.С. Шипачёв).
При этом, когда я пытаюсь понять доказательства каких-то даже элементарный свойств или теорем, то эти выводы кажутся какими-то искусственными, будто бы притянутыми за уши (вспоминается критика Шопенгауэра касательно доказательства теоремы Пифагора). Я понимаю, что, скорее всего, дело в моей личной глупости и необразованности, но всё же хочется понять и разобраться, однако приходится тупо пялиться на формулы и пытаться, как детектив, понять, как же цепь событий привела к такому исходу, и как мыслил «преступник».
Когда я беру в руки, например литературу по элементарной математики, чтоб её заложить как основу, то там часто натыкаюсь на ситуации неполного доказательства или вывода, когда беру более научные книги по высшей математике, то там вижу череду доказательств …
При этом в той же элементарной математике не закладывается какая-то хорошая база по теории множеств, хотя этот раздел, по сути, и является фундаментом. В школе многие подобные вещи опускают, чтоб у человека не было каши в голове, и сложилось некоторое понимание. Но, а что делать, если я прямо сейчас задаю много вопросов при чтении, а ответов не получаю?
Я понимаю, что скорее всего моё недоумение больше похоже на каприз, но сейчас я ощущаю запутанность, так как постоянно метаюсь от математики то как чисто прикладной науки, и пытаюсь её рассматривать через призму: есть задача – есть инструмент, то как теоретической области знаний (вспоминая Арнольда), а всё, что решается с её помощью как к «приложениям математики», но в таком случае мне трудно систематически воспринимать информацию, так как она мне видится часто оторванной от мира, а большое кол-во выводов и следствий сводят с ума и понимание особо не прибавляется. Не говоря уже о том, в каком порядке это всё лучше постигать.
До сих пор не очень понимаю, как мои одногруппники зубрили и сдавали высшую математику в университете, не имея особого понимания при этом, но мой мозг попросту отказывается воспринимать или запоминать информацию, если я её не понял. Поэтому порой я валил контрольные и ходил на доп. занятия и переписки, пока у меня хоть какое-то осознанное понимание не появлялось.
Я понимаю, что охватить всю математику, в т. ч. современную, пожалуй, невозможно, однако я хочу достичь знания и понимания достаточного для:
1. Умения мыслить и решать задачи, а также описывать и развивать идеи на языке математики;
2. Чтения научной литературы и статей со способностью понимать и раскрывать суть формул (разумеется, в пределах интересующей меня области);
3. Возможности на базе сформированного фундамента углублять и расширять свои познания в математике в других разделах.
Где-то я читал, что в своё время, в двух сильнейших математических школах (СССР и Франция), обучали двумя подходами: во Франции делался значительный уклон на зубрёжку и большой объём практики, а в СССР – на понимание. Не большой знаток истории математики, поэтому вы поправьте, если посчитаете нужным, но выбирая между ними, я бы хотел сосредоточиться на понимании.
Не по делу: У вас есть высшее образование? - именно на вышке учат учиться, если конечно вы учились, и было стремление.
По делу: поставьте себе конкретную задачу. Например у меня была задача "предсказать следующее число, на основе исторических данных" это называется регрессия, следовательно начинаю дальше читать про это понятие выбирать формулы, читать науч. Статьи, начинаю разбираться в распределениях и пр.
Далее уже применяю полученный мат. Аппарат для решения своей задачи.
А если бы просто учил всю мат статистику, мне кажется до сих пор бы не допер до решения.
Я говорю это к тому что поставьте себе задачу и ее решайте, постепенно углубляясь в то что вам необходимо. Иначе короблю без цели все ветра будут попутны.
Да, у меня есть высшее образование. Экономическое. Но мат. дисциплины в университете преподавались достаточно посредственно, поэтому знания тоже довольно поверхностные и зачастую забытые. И, честно говоря, на момент обучения не шибко интересовала математика.
Но опять же, то, что вы указали "исходить из задачи". И, как мне кажется, если исходить чисто из задачи, то в какой-то момент можно просто перестать понимать, так как особой структуры не будет, а знания будут эквивалентны списку задач и каким-то теоретическим выкладкам под них.
По делу: поставьте себе конкретную задачу. Например у меня была задача "предсказать следующее число, на основе исторических данных" это называется регрессия, следовательно начинаю дальше читать про это
Очень хороший совет. Но возникает вопрос: а как понять, что это регрессия, если этого заведомо не знаешь?) Об этом может догадаться только опытный специалист/математик... Порой даже не знаешь, куда копать, т.к не понимаешь с чем столкнулся.
я до этого не знал, однако разбираясь с задачей начинаешь натыкаться на так называемые ключевые слова. и со временем, пускай и не сразу эти ключевые слова нас наведут на понятие "регрессия". т.е. при разборе задачи у вас начинает формироваться какое то ядро с ключевыми словами - терминами / решениями, большая часть которых уже содержится в определении регрессия, рано или поздно поисковик сам нас наведет на это понятие.
Вы даже можете не выйти на понятие регрессия - вы изобретете ее заново для себя. но вот тут появлятся важность высшего образования любой человек ходивший на мат статистику знаком с этим понятием.
вот еще пример, когда писал бота арбитражера - нужно было как то назвать связку между 2-мя валютами на разных биржах. после нескольких месяцев разработки, я начал по новой анализировать область задачи, т.к. решение которое я написал - было неудачным и сложным. после недельного анализа я наткнулся на понятие "Своп". но было бы у меня эконом. образование я бы его использовал еще раньше)).
В науке о данных сейчас всё работает по принципу 50 на 50, мол, за, ем думать, когда можно посчитать все варианты. Поэтому можете не пытаться понять формулы из научных статей, т. к. в них обычно опущены "очевидные" доказательства на 20 страниц. Даже если там ошибки, то это повод для новой серии статей, о которых вы узнаете лет через 10.
Но если вы действительно хотите понимать все эти формулы, то вам достаточно найти ответ на вопрос "почему? ". Почему данные такие странные? Почему распределение такое необычное? Почему авторы выбрали распределение? Почему выбран такой критерий для доказательства распределения? Почему используются такие параметры критерия? Почему эталон имеет такие параметры?... Пока не дойдете до вещей, которые вам понятны.
P. S.
Цепочку доказательств можно сократить до "я учёный - я так вижу".
Я не претендую на истину в последней инстанции и не планирую что то доказывать, а так же я не знаю Вас, Ваш бэкграунд и багаж знаний. Все написанное ниже есть лишь мои мысли и могут быть, как любое частное мнение, неверным или не полным.
Где-то я читал, что в своё время, в двух сильнейших математических школах (СССР и Франция), обучали двумя подходами: во Франции делался значительный уклон на зубрёжку и большой объём практики, а в СССР – на понимание. Не большой знаток истории математики, поэтому вы поправьте, если посчитаете нужным, но выбирая между ними, я бы хотел сосредоточиться на понимании.
СССР, когда формулировал подходы к обучению в 1920-х годах, опирался на опыт РИ. Фактически образование делилось на 2 ветки:
1. Образование для того что бы синтезировать новые знания. Это Университетский подход, этому учили в Университетах страны.
2. Образование для решения текущих задач. Когда упор делался на детерминировании задачи и поиска методики или адаптации методики под ее решение. Это Институты и Техникумы страны, просто у одних упор был больше на теорию, у других больше на практику.
Например я закончил строительный институт и мой диплом по сути это объединенные в один том расчеты на многие сотни листов текста из разных методичек, сделанные на основе конструктивных решений, которые вытекают из планов и архитектуры, которые я же сам и задал. В то время как в Университете диплом может состоять даже из двух листов, если этого хватает что бы описать доселе неизвестный принцип.
Соответственно математика бывает прикладной и фундаментальной, соответственно это разные подходы для литературы.
Как правильно писали выше, сейчас открыть что-то новое в классической области очень сложно, возможно здесь теории почти все открыты, но вот на стыке наук - открытия случаются, т.к. мы имеем компьютеры которые позволяют нам автоматизировать действия, то вперед выходят графы, матрицы, ИИ и все прочее что работает как с большими данными, так и позволяет скрещивать нескрещиваемое и дальше банальным перебором идет проверка на разумность/возможность решений. Полученные варианты задним числом обосновывают или даже запускают в продакшен и прочие современные слова просто потому что это работает. Сегодня мы все немножечко конструкторы, а не ученые. Просто каждый перебирает и объединяет/комплектует варианты на своем уровне.
Я в школе изучал математику без доказательств. Тоесть мне просто было достаточно авторитета автора учебника. И мне - инженеру по софту сегодня и этого более чем достаточно. Для кого вообще доказательства очевидны? Вот несколько лет назад была доказана большая Теорема Ферма (за пруфами - поищите сами) но оказалось что она идет просто следствием из другого более сложного доказательства которое понимает не очень много людей на планете Земля.
Может быть где-то стоит остановиться и принять теорему на веру и спокойно пользоваться ею как средневековый механик пользуется маятником и шестерёнками особо не погружаясь в механику и сопромат (которого еще не было). Наверное в этом и есть высшая инженерная философия.
Инженер - не математик. Инженер просто берет и приспосабливает имеющиеся знания на основании практики и здравого смысла. Ну можно еще добавить немного селекции (генетические алгоритмы) просто как основу для улучшения того что уже есть.
Простой
Простой