405 возвращает потому что в доке ошибочно http:// вместо https://, который приводит к редиректу на https:// с GET. Это лечится заменой на https.
Следующая стадия - полечить ответы об ошибках. Они в ответ возвращают json со строкой, в которой json. Поэтому проверяем, если r.json() текст - интерпретируем как json.
Сами прокси передавать в POST-запросе через перенос строки в параметре proxy_list:
import requests
import json
data = '203.13.32.122:80\n203.13.32.122:443'
r = requests.post('https://proxy-checker.net/api/proxy-checker/', data={"proxy_list": data })
print (r)
resp_json = r.json()
if isinstance(resp_json, str):
resp_json = json.loads(r.json())
print (json.dumps(resp_json, indent=2, ensure_ascii=False))
Короче, очень кривой API...