Как устанавливается заново это соответствие между количеством монет и конкретным кошельком?
В биткоине нет понятия "количество монет" есть только информация о транзакциях.
То, что транзакции эти твои - ты подтверждаешь при помощи приватного ключа.
Кошельков есть по сути два вида:
1. Работает по аналогии с киви, где есть какой-то сервер, который уже посчитал, сколько у тебя монет должно быть, и кошелёк эту информацию просто запрашивает (запросить может кто угодно, ибо информация публичная, даже без ключей)
2. Выкачать самостоятельно весь блокчейн (сколько он там уже гигов? Или уже на терабайты счёт?) и найти в нём нужные транзакции.
Это всё описывается в любой статье о работе блокчейна.