Выбор базы данных зависит от вашей задачи и опыта работы с ними.
Если нужно локально сохранять данные, то можно использовать Room .
Если получать данные по сети, то можно использовать тот же Firebase, но стоит незабывать про квоты/ограничения.
Если же использовать MySQL или PostgreSQL , то нужно будет поднимать VPS сервер и желательно передавать данные через API, чтобы не коннектиться к БД на клиенте.
Для более развернутого и точного ответа, слишком мало входных данных от вас.