Стилизовать нативное окно подписки браузера невозможно.
Однако вы можете сделать собственное окно подписки (свестав и стилизовав его по своему усмотрению) и затем, с помощью
Notifications API вызывать нативное окно подписки.
По такой схеме работают многие коммерческие сервисы пуш-уведомлений.