Для любых двух вершин, например, 1 и 2, центр равноудален от них. Стало быть он лежит в (n-1)-мерном подпространстве, проходящем через середину отрезка x1—x2 (x1 — вектор первой вершины) и перпендикулярном ему. Уравнение такой плоскости:
Потому что x1-x2 есть направляющий вектор ребра (нормаль к плоскости). Нижние индексы означают номер координаты, а верхние — вершины симплекса.
Центр однозначно определяет пересечение n плоскостей. Например, выберем плоскости 1—i, где i меняется от 2 до (n+1). Тогда будет
Получена неоднородная линейная система относительно
которая разрешается (любым методом).
P.S. Правильность не гарантирую. Но на неё надеюсь.