Алексей Ярков

Никак.

Функцию вызывайте при создании экземпляра компонента, результат записывайте в свойство (кажется, у вас уже есть подходящее - api). Ту странную штуку с computed свойством вырежьте. Выглядеть это будет примерно так:

created() {
  accessAPI().then(result => this.api = result);
},

<imgMap :api="api"></imgMap>

Если в дочерний компонент не должны передаваться пустые данные, не надо его рендерить, пока данные не будут получены:

<imgMap v-if="api" :api="api"></imgMap>

arr.lenght

Вот же позорище.

arr[x].lenght

Два раза позорище.

Слова lenght нет. Есть length. Подобные опечатки могли бы и сами обнаружить.

Чтобы можно было так вызывать, метод надо в прототип поместить: Vue.prototype.myGlobalMethod = ....

У софта, библиотек, и прочих зависимостей бывают версии. Еще и у железа отличия бывают.

Смысл сборки "на месте" в том, что если уж оно собралось, то уже не должно ругаться на "не та версия" и должно учитывать особенности железа. Т.е. потерпев некоторое неудобство при сборке получаете надежность и скорость работы.

Собрав у себя локально и перелив на сервер, у которого отличается окружение - рискуете получить кучу глюков, и чем больше оно отличается, тем сильнее рискуете.

Скрипт срабатывает при наведении -

<a onmouseover=alert(document.cookie)>click me!</a>

Если написать вот таким "псевдокодом", станет понятнее?

var obj = {
a: 1
};
(function(var obj){
obj = {
a: 2
}
})(obj)
console.log(obj)

(такой код не выполнится, но он покажет суть, как будет работать ваш код).