если это api какого-либо "стороннего" сервиса, то у автора вопроса нет доступа к настройке заголовков сервера
данные на момент рендеринга должны быть доступны, ибо сначала created а затем mounted
console.log('created') и console.log('mounted') в соответствующих хуках что говорят?
Ну это же тоже костыль
такое ощущение, что обращение к нему идет ДО момента , когда объект данных инициализируется.
<select class="form-control form-control-sm client-file"
v-model="attachedFileType" id="file_type"
name="file_type"
v-if="filesTypes" <!-- ВОТ ЭТО -->
>
<option v-for="(item, index) in filesTypes" :value="item.id" :key="item.id">
{{item.item_title}}
</option>
</select>