Вопрос: как сделать так, чтобы, когда пользователь откроет блок и решит авторизироваться, то после перезагрузки страницы этот блок был открытым.
Используйте сохранение состояния: сессия пользователя, сохранение параметра ("флага") состояния в куках/localStorage.
Или можно сохранить состояние между запросами прямо в URL (после открытия меняйте URL через history и добавляйте в него параметр).
http://site.com/page24324.html?logon
проверяйте через JS этот параметр сразу после загрузки страницы и, если он присутствует, разверните нужный блок.