css transition в данном случае должен подойти.
Добавляемому классу сделать плавное появление.
PS: Наложение блоков на кнопку смотрится стрёмно)
PPS: А вообще, круто смотрелся бы такой сценарий.
Прокручивается страница, а эти 4 круга стоят на месте, но когда оним своим центром докручиваются до черных блоков снизу, круги приклеиваются к этим черным блокам и дальше страница скролится как обычно.