Влад Базаров

html {
    -webkit-text-size-adjust: 100%; /* Prevent font scaling in landscape while allowing user zoom */
}

На странице плодятся элементы с одинаковым id - input type="text" id="quan-txt".
При попытке проставить значение $('#quan-txt').val(vvv); будет проставлено значение только первому 'скрытому' (для скрытия лучше input type="hidden" использовать) элементу.
Для поиска по такому селектору jquery использует самую быструю функцию document.getElementById, которая возвращает один единственный элемент.
api.jquery.com/id-selector
id должен быть уникальным на странице.
Решить проблему с корзиной поможет следующий код

onchange="$(this).prev().val($(this).val()); $('#cart-form2').submit();"

Вариант 1

<input type="text" name="quantity[<?php echo $product['key']; ?>]" value="<?php echo $product['quantity']; ?>"  size="1" class="form-cart" style="display:none;">
<select class="countOrders" value="<?php echo $product['quantity']; ?>" >
  <?php for($i=1; $i<=20; $i++):?>
			<option value="<?=$i?>" <?=($i == $product['quantity'] ? ' selected="selected"' : '' )?>><?=$i?> шт</option>
	   <?php endfor;?>
</select>
<span class="input-group-btn">
	<button type="button" data-toggle="tooltip" class="btn btn-danger"  onclick="cart.remove('<?php echo $product['key']; ?>');"><i class="fa fa-times-circle"></i></button>
</span>

Гдето внизу подключить
<script>
$( document ).ready(function() {
	$('.countOrders').on('change', function(e){
		$(this).prev().val( $(this).val() );
		$('#cart-form2').submit();
	})
});
</script>

Вариант 2

<input type="text" name="quantity[<?php echo $product['key']; ?>]" value="<?php echo $product['quantity']; ?>"  size="1" class="form-cart" style="display:none;"/>
<select class="countOrders" value="<?php echo $product['quantity']; ?>"  onchange="$(this).prev().val( $(this).val()); $('#cart-form2').submit(); " >

  <?php for($i=1; $i<=20; $i++):?>
			<option value="<?=$i?>" <?=($i == $product['quantity'] ? ' selected="selected"' : '' )?>><?=$i?> шт</option>
	   <?php endfor;?>
</select>
<span class="input-group-btn">
	<button type="button" data-toggle="tooltip" class="btn btn-danger"  onclick="cart.remove('<?php echo $product['key']; ?>');"><i class="fa fa-times-circle"></i></button>
</span>
<code>

/* Smartphones (portrait and landscape) ----------- */
@media only screen
and (min-device-width: 320px)
and (max-device-width: 480px) {
  /* Styles */
}

/* Smartphones (landscape) ----------- */
@media only screen
and (min-width: 321px) {
  /* Styles */
}

/* Smartphones (portrait) ----------- */
@media only screen
and (max-width: 320px) {
  /* Styles */
}

/* iPads (portrait and landscape) ----------- */
@media only screen
and (min-device-width: 768px)
and (max-device-width: 1024px) {
  /* Styles */
}

/* iPads (landscape) ----------- */
@media only screen
and (min-device-width: 768px)
and (max-device-width: 1024px)
and (orientation: landscape) {
  /* Styles */
}

/* iPads (portrait) ----------- */
@media only screen
and (min-device-width: 768px)
and (max-device-width: 1024px)
and (orientation: portrait) {
  /* Styles */
}

/* Desktops and laptops ----------- */
@media only screen
and (min-width: 1224px) {
  /* Styles */
}

/* Large screens ----------- */
@media only screen
and (min-width: 1824px) {
  /* Styles */
}

/* iPhone 4 ----------- */
@media only screen and (-webkit-min-device-pixel-ratio: 1.5), only screen and (min-device-pixel-ratio: 1.5) {
  /* Styles */
}

открой catalog/controller/product/category.php и на 180 строке посмотри, как задаются элементы массива $data['categories'][] там thumb объявишь - будет картинка в переменной. Как картинки выдергиваются, можешь посмотреть в том же файле в коде выше:

if ($category_info['image']) {
				$data['thumb'] = $this->model_tool_image->resize($category_info['image'], $this->config->get('config_image_category_width'), $this->config->get('config_image_category_height'));
			} else {
				$data['thumb'] = '';
			}

по аналогии сделай присвоение, только из $result, а не из $category_info

Если не меняется домен, то для поисковика ничего не изменится.
Удачного вам переезда без даунтайма!

Рейтинг в ПС, я так понимаю?

Если сайт на своем домене, то можно перенести без проблем, если настроить постраничный 301-й редирект, сохранить урлы и контент.

А лучше почитайте справку по этой теме от Google и Яндекс

От смены хостинга ничего не изменится. Изменится, если сервер тупить будет, тогда только он-лайн падать будет.