В общем вы хотите чего-то странно, возможно пока сами до конца не понимаете чего:
Есть сайт, на сайте есть регистрация, требуется при регистрации пользователя, автоматически создать для него e-mail ящик, пользователь не может отправлять сообщения с этого ящика, отправка вообще не требуется, он может только получать определенные сообщения, которые отображаются в соответствующем разделе сайта.
Для чего вам делать ящик в котором нельзя отправлять почту?
В чем кейс?
Как я вижу вам нужно просто запилить на сайте ЛК пользователей и слать туда сообщения.
Желательно иметь возможность контролировать (выбирать\изменять) почтовый домен.
Не вопрос, смотря на чем написан сайт, пишите код который это будет делать.
Естественно, решение должно быть максимально бюджетным, ибо монетизации всего "этого" (весь сервис описывать не буду) нет!
Маловероятно.
Изначально хотел запустить собственный сервер, используя hMailServer и DDNS (например no-ip или duny). Однако, сразу возникли проблемы с портами, проще говоря, все порезали и заблочили.
Получается, остается только VPS? Может быть есть другие решение?
Да, получается VPS, там в любом случае нужен постоянный ИП, PTR запись и все остальное, у домашних провайдеров этого не будет.