При условии, что сама эта коллекция будет находится в экземпляре класса RemoteClientViewModel.
Не совсем понял, почему вы называете это "коллекцией", по логике я бы там ожидал увидеть просто несколько обычных свойств, выставленных для вьюхи. Чтобы сделать привязки к этим свойствам, просто задайте нужный ItemTemplate.
Кроме того, мне нужно чтобы при клике на элемент списка ListBox в ListView отображался соответствующий этому клиенту (т.е той ViewModel которая подключена к этому элементу) список файлов.
Всё очень просто - сделайте в MainViewModel свойство SelectedЧТОТО, в пару к вашей коллекции. Например, если коллекция это RemoteClients, то и свойство - SelectedRemoteClient. Забиндите SelectedItem ListBox-а к этому свойству. Разумеется, не забудьте его правильно реализовать, с NotifyPropertyChanged. Затем привяжите ItemsSource ListView-хи к SelectedRemoteClient.Files, где Files это коллекция с информацией о файлах. Если не будет работать, пишите, попробуем другой вариант.