Попробуйте после проведенных действий запустит event заново. На элементе this.$el или родителе вызвать dispatchEvent.

То есть нельзя остановить событие и потом продолжить его. Придется его вызывать заново. https://developer.mozilla.org/docs/Web/Guide/Event...

<template>
  <div @click="clicked">...</div>
</template>

<script>
export default {
  ...
  methods: {
    clicked(ev) {
      const savedEvent = ev;
      ev.stopPropagation();
      // ... что-то на сервере
      this.$el.dispatchEvent(savedEvent);
    }
  }
};
</script>

Сам сайт должен удовлетворять требованиям PWA. Надо добавить файл manifest.json https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/Manifest

В нем обязательно должны быть указаны эти поля:

• С обязательным именем приложения (short_name или name)
  
• Указаны иконки (icons)
  
• Стартовой ссылкой на открытие приложения (start_url)
  
• Формат окна при открытии приложения (display)
  

А также должен быть установлен ServiceWorker, который умеет обрабатывать установку.
Пример полной реализации вот тут https://web.dev/codelab-make-installable/

Подробнее тут можно почитать https://web.dev/discover-installable/
https://developers.google.com/web/fundamentals/app...

В документации так и указано, что при height со значением возвращается объект jQuery api.jquery.com/height/#height2