Yandex карты на React - какие лучшие практики в связке с typescript?

Сорри, ссылку не ту скопировал.
https://www.npmjs.com/package/@pbe/react-yandex-maps
Минус — доки нет.

При верстке сайта пропал скролл, что делать?

Efiriono, Забавно то, что я взял целиком ваш код...
Мистика :-)

Как сделать грамотно сделать header?

Antony Bark, готово :-)

Как правильно сделать верстку и стили для контейнера?

Тогда надо понимать, как элементы должны располагаться на маленьких экранах. С ходу так сложно представить...
Да, не прочитал до конца, что вы написали, каюсь.

Как сделать грамотно сделать header?

Обратите внимание на то, как сделана верстка. Добавил скрин, чтобы продемонстрировать, как ведут себя элементы. Красная обводка — это ul, черная — li.



Набросал, как это может быть: https://codepen.io/romant094/pen/ZEagLWz

Как обыграть UI/UX у такого прототипа?

Gagatyn, Зависит от целей. Если это что-то типа таблицы, то без проблем. Если эта часть на лендинге, то я бы это в какую-нибудь модалку выносил, либо в отдельный раздел.
По-хорошему, вы как разработчик вообще не должны об этом думать. Это работа проектировщика/дизайнера.

Плавающее либо привязанное всплывающее окно, как эффективнее сделать?

helboi, Набросал пример: https://codesandbox.io/s/quirky-shadow-ycv2l?file=...
Но учтите, что он не учитывает ресайз окна. То есть, если мы окно ресайзим, то страницу надо будет обновить. Если это тоже нужно учитывать, то стоит делать реализацию через Redux или его аналог. Можно написать простой аналог самостоятельно. Вот тут описано, как это сделать: https://habr.com/ru/post/439104/

Плавающее либо привязанное всплывающее окно, как эффективнее сделать?

helboi, проверить, не выходит ли правый край за область просмотра.
getBoundingClientRect для поиска позиции слева и ширины. Так можно вычислить правую координату. Ну и поставить стиль позиции left

Как можно обратиться к элементам DOM?

Не проще ли воспользоваться API?

Как в React выполнить последовательно асинхронные функции?

А почему бы бэку не отдавать категории с группировкой по фильмам? Или в каждый фильм добавить category, а на фронте уже фильтровать по категории.
Получается на фронте очень сложная логика... Можно, конечно, запихнуть все в промисы и выполнять что-то типа Promise.all, но зачем?

Можно еще вариант сделать:
1. получить категории
2. при клике на категорию получать фильмы для нее

Будет в разы проще.

Как в React выполнить последовательно асинхронные функции?

Думаю, что дело в промисе.
showMoviesOfCollections - это синхронная функция
getCollections - это асинхронная функция, которая будет выполнена после showMoviesOfCollections.

Я бы рекомендовал сделать так:

const getCollect = (slug, limit) => {
    getCollections(slug, limit).then(data => {
      if (data.error) {
        console.log(data.error)
        // записать в стейт error
      } else {
        console.log(data.movies)
        // записать в стейт movies
      }
    })
  }

Также необходимо переписать то, что возвращает компонент на что-то типа:

{
   movies.length > 0 && movies.map(.....)
}

Также дополнительно рекомендую почитать про event loop в браузере.