rPman

хочу странного, но

нет возможности ставить оболочку

Откуда вы такие беретесь!?

Есть framebuffer должен работать но утилиты ставить придется (можно заморочиться и в /home поставить)
первый же ответ в гугле

Что за ноутбук? Что за ОС.

удостоверься что проблема не в софте, загрузившись к примеру с liveusb linux (ubuntu/kubuntu) или windows winpe (там будут проблемы с драйверами по этому без гарантий)

телевизоры, особенно дешевые (так было лет 10 назад - поголовно), очень коряво подают информацию о своих возможностях (список видеорежимов и их параметры), мало того очень часто бывает что для vga и для hdmi информация отличается, и могут отсутствовать необходимые видеорежимы в принципе (например точка в точку, подходящий под матрицу) из-за чего эти видеорежимы приходится добавлять вручную (есть способы отредактировать эту edid информацию прямо в мониторе)

так же у меня вот под рукой старый монитор с vga входом, который при использовании даже древней видеокарты amd hd5830 через dvi-vga переходник, корректно сообщает компьютеру о своем штатном разрешении 1600x900, но при подключении к материнской плате (встроенная видео от amd) нужное разрешение не обнаруживается, само собой все драйвера установлены, включая на сам монитор! (это inf файл с описанием его параметров).

для linux используй штатную утилиту xrandr, для windows ищи, их много было, в т.ч. у nvidua control panel есть соответствующий пункт

конечно, земля же на кабеле по любому должна быть
правильно решение - сделать правильное заземление во всех комнатах, все остальные решения будут корявыми и даже опасными

У монитора заявлен dual mode usbc+dp1.2, это значит покупаешь кабель usb-c dp и покупаешь кабель dp - hdmi или сразу usb-c-hdmi но боюсь это не будет работать (советую прийти в магазин сразу с монитором и проверить), как я понимаю питание он получает по usb-c так что не удивлюсь если понадобится подключать кабель еще одни и для этого.

Почти наверняка у вас какие то проблемы с порядком устройств, то ли оно постоянно меняется то ли что то еще. Похожие проблемы я встречал с bluetooth наушниками и колонками.

Например когда монитор засыпает, звуковое устройство hdmi отключается и устройство по умолчанию становится ноутбучное.

Панель управления - звук, вы можете принудительно перед запуском игры выключить звуковую карту ноутбука, тогда останется только hdmi и приложения не смогут переключиться на другое.

Корень проблемы в переходнике miniDP -> hdmi, избавляйтесь от этой странной переконвертации сигнала (возможно это и создает проблему), например поменяйте монитор на имеющий dp.

Видеокарта intel hd graphics 5500 способна выводить:

Up to three displays can be connected via DP 1.2/eDP 1.3 (max. 3840 x 2160 @ 60 Hz) or HDMI 1.4a (max. 3840 x 2160 @ 24 Hz). HDMI 2.0, however, is not supported

т.е. 2к будет с трудом до 50Hz, может быть монитор не может разрешение с низким фреймрейтом воспроизводить

Вы уверены что игра у вас запускается на этом телевизоре? Возможно она выводится на основном мониторе, который вы выключили но оставили подлюченным к компьютеру (winodws считает что такой монитор есть и позволяет на него выводить информацию и делать его главным).

Даже если окно лянчера игры у вас на втором мониторе, directx/opengl игры могут не учитывать наличие второго монитора и выводить все на главный (первый). Для таких перед запуском рекомендуется переключать текущий монитор (а по завершению возвращать, у ati есть даже утилита позволяющее такое делать автоматически, но это было давно)