Я в таких случая пользуюсь сервисом Zapier (пример настройки для вашей формы https://wordpress.org/plugins/cf7-to-zapier/).
С ним можно настроить интеграцию куда угодно и как угодно: есть готовые пакеты интеграции с популярными сервисами, есть возможность работать с REST API. Вашу систему я там не нашел, но сам успешно интегрировал ITSM 365 и Typeform

Руслан, как я понимаю, стиль самих кнопок редактировать нельзя. Скорее всего, создатели сделали это осознанно, чтобы во всех ботах действия выглядели унифицировано.
Если вы хотите немного оживить текст для ваших пользователей - воспользуйтесь символами emoji (getemoji.com/) - в кнопках смотрится очень хорошо!

Такого в интернете пруд пруди, перед тем как выбрать, нужно ответить перед собой на несколько вопросов:
- кто будет этим пользоваться (например, люди в поиске мастера по починке микроволновки)
- как этим будут пользоваться (на сайте, просто будут переходить на форму по ссылке и тп)
- готовы ли вы за это платить (как правило, бесплатно на разных сервисах можно отправить до 100 писем)
Начать можно с гугло форм, там есть автоматизация и возможность отправки на определенные адреса.
Есть много условно бесплатных, например, https://www.typeform.com/forms/ - можно настроить формочку или виртаульный диалог, где кто-то, похожий на человека соберет все данные с пользователя.

Таких систем сейчас пруд пруди. Для начала решите для себя, кто будет разработает регламенты, настроит и запустит систему:

• будете делать своими силами - берите любой известный опенсорс и в путь, но будте готовы выделить на проект несколько человек с полным рабочим днем
  
• закажете проект у интегратора - выберите надежного вендора, с которым будет комфортно работать (ориентируйтесь на отзывы, опыт и срок присутствия на рынке), например, 1С, Naumen
  

По своему опыту, если решитесь делать сами, для начала посчитайте затраты на ФОТ и сравните с ценой интегратора на внедрение - скорее всего, заказать проект на стороне будет быстрее и дешевле, а волшебной коробочки, которую поставил и заработала просто не бывает (что бы вам не говорили сейлы и маркетологи).