Я в таких случая пользуюсь сервисом
Zapier (пример настройки для вашей формы
https://wordpress.org/plugins/cf7-to-zapier/).
С ним можно настроить интеграцию куда угодно и как угодно: есть готовые пакеты интеграции с популярными сервисами, есть возможность работать с REST API. Вашу систему я там не нашел, но сам успешно интегрировал
ITSM 365 и
Typeform 
