Максим Федоров

Проблема в том что Вы пытаетесь сделать запрос не авторизовавшись. Соответственно необходимо произвести процесс аутентификации

1. Мыслите верно, но подойдет ли готовый виджет под Ваши задачи нужно смотреть... поискать готовые виджеты можно так
2. Тоже все верно

помогите разобраться с вопросом как реализован механизм позднего связывания в модели User, которая описана в Yii2 advanced?

точно так же как и в PHP

Как работает цепочка наследования в выражении static::findOne и в каком контексте функция findOne в результате будет выполнена?

интерпретатор проверяет наличие метода в текущем классе, если он не существует происходит проверка наличия/вызов метода дальше по иерархии наследования

загрузите связанные данные с помощью joinWith а потом уже выбирайте то что Вам нужно

Yii старается предоставить универсальный интерфейс для работы с любой СУБД, поэтому учитывает только их общие особенности. sequence - это индивидуальная особенность некоторых СУБД, и в таких СУБД как MySQL, sqlite их попросту нет. Соответственно стандартных инструментов для создания sequence в Yii нет, и необходимо все прописывать ручками в виде SQL

На сервере модель спокойно передается между функциями и везде можно вызвать $model->initials, но при использовании ajax это отношение пропадает.

Обработка аякса тоже происходит на сервере, и что означает пропадает? метод у класса пропасть не может, вы б ошибку привели которая у Вас появляется

Поскольку это не связь в бд, joinWith() не работает.

А при чем тут joinWith если метод getInitials склеивает данные из полей модели? Скорее всего дело не в том что что-то пропадает. Скорее всего у Вас проблема в чем то другом, например не инстанцирована модель ... В общем нужно более подробное описание что означает "пропадает" и код обработки Ajax-запроса

После установки в composer.json строка с версией стоит такая "yiisoft/yii2": "~2.0.6"

Это строка означает что composer будет УСТАНАВЛИВАТЬ самую последнюю версию пакета до версии 2.1. (не включительно). Она некоим образом не говорит о УСТАНОВЛЕННОЙ в текущий момент версии

Если Вы хотите посмотреть список установленных пакетов в текущий момент и их версии используйте команду
composer show -i

можно ли как то прописать что бы он стал зависим от другого js файла, например main.js?

из коробки нельзя, можно указать только зависимость от комплекта ресурсов

как самый просто вариант использовать strtr, только ко перед заменой данные из модели необходимо экранировать от html-тегов

Yii::$app->db->createCommand()->rawSql

$about->getImage()

Вы обращаетесь не к объекту а к массиву, а у массива нет метода getImage(), по всей видимости необходимо обращаться к $about2

В Вашей ситуации возможны два варианта:
1. Объявить некоторое свойство в модели в которое будет behavior записывать свои значения лейблов а модель соответственно производить объединение, например

class MyModel extends \yii\base\Model
{
    public $myAttributeLabels = [];

    public function attributeLabels()
    {
        $labels = [
            'attributeName' => 'Attribute Label';
        ];
        return array_merge($this->myAttributeLabels, $labels);
    }
}

class MyBehavior extends \yii\base\Behavior
{

    public function attach($owner)
    {
        $owner->myAttributeLabels = [
            'attributeName' => 'Attribute Label'
        ];
    }
}

2. Хранить в behavior лейбы и получать их в модели как в комментариях сказал @iSensetivity
По сути дела оба варианты это костыли приводящие к неочевидности кода, поэтому я бы на Вашем месте вообще отказался от подобных задумок

Реализовывать проверки во view для скрытия меню в зависимости от текущего экшена - это плохая практика.
Лучше сделайте два слоя один с меню а другой без него и в контроллере определяйте какой из слоев необходимо рисовать с помощью свойства layout